lundi 7 octobre 2013

Algèbre I

CHAPITRE 1 : ESPACE VECTORIEL RÉEL

I- Structure d’espace vectoriel réel 
I-1 L’espace vectoriel IRn
I-2 Espace vectoriel réel
I-3 Propriétés

II- Sous espaces vectoriels 

II-1 Définition et propriétés
II-1-1 Définition
II-1-2 Propriétés

II-2 Intersection de sous espaces vectoriels
II-3 Somme de sous espaces vectoriels

III- Combinaison linéaire - système générateur
III-1 Combinaison linéaire
III-2 Système générateur

IV- Système libre - système lié
V- Ordre et rang d’un système de vecteurs
VI- Base d’un espace vectoriel
VII- Espace vectoriel de dimension fini  




Cours
                      
     
Énoncés Solutions
Exercices
[ 1 - 8 ] 


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CHAPITRE 2 : APPLICATIONS LINÉAIRES

I- Définitions et généralités 
I-1 Définitions
I-2 Propriétés 

II- Opérations sur les applications linéaires
II-1 Addition.
II-2 Multiplication par un scalaire
II-3 Composition de deux applications linéaires

III- Image et image réciproque par une application linéaire

IV- Noyau et image d’une application linéaire 
V- Applications linéaires injectives et surjectives
VI- Rang d’une application linéaire


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[ 1 - 11 ] 

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CHAPITRE 3 : MATRICES

I- Généralités 
I-1 Définition
I-2 Matrices particulières 

II- Matrices carrées 
II-1 Diagonale d’une matrice carrée
II-2 Matrice diagonale
II-3 Matrice triangulaire
II-4 Matrice symétrique
II-5 Matrice antisymétrique

III- Opérations sur les matrices 

III-1 Égalité
III-2 Addition
III-3 Multiplication par un scalaire
III-4 Produit de deux matrices
III-5 Puissance d’une matrice
III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices

IV- Matrice inversible 

V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan 
V-1 Principe de la méthode
V-2 Exemples
VI- Matrice associée à un système de vecteurs
VII- Matrice d’une application linéaire
VIII- Changement de base 

VIII-1 Matrice de passage
VIII-2 Coordonnés d’un vecteur
VIII-3 Application linéaire



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Exercices
[ 1 - 18 ] 
 
 
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CHAPITRE 4 : DÉTERMINANT D’UNE MATRICE CARRÉE

I- Calcul d’un déterminant d’ordre n 
I-1 Déterminant d’ordre 1
I-2 Déterminant d’ordre 2
I-3 Déterminant d’ordre n

II- Propriétés des déterminants 

III- Inversion d’une matrice par la méthode des cofacteurs
IV- Rang d’une matrice 

IV-1 Calcul du rang d’une matrice
IV-2 Rang d’une application linéaire
 



Cours
                      
     
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Exercices
[ 1 - 8 ] 

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CHAPITRE 5 : SYSTÈME LINÉAIRE

I- GénéralitésI-1 Définition d’un système linéaire
I-2 Écriture matricielle d’un système linéaire
I-3 Rang d’un système linéaire

II- Résolution d’un système linéaire triangulaire 

 II-1 Résolution d’un système triangulaire supérieur par montée
II-2 Résolution d’un système triangulaire inférieur par descente

III- Résolution d’un système linéaire de Cramer
 

III-1 Définition d’un système de Cramer
III-2 Résolution par l’inversion de la matrice du système
III-3 Résolution par la méthode de Cramer

IV- Résolution d’un système linéaire non de Cramer

IV-1 Résolution d’un système avec second membre
IV-2 Cas particulier d’un système homogène 




Cours
                      
     
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Exercices
[ 1 - 6 ] 

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